Расчёт разветвления цепи постоянного тока

φD - потенциал узла D.
Условно заземляем одну из точек цепи, принимая потенциал φd = 0.
Для оставшихся узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа:
- узел А:
I_1+I_2-I_4=0.
- узел B:
I_3-I_2-I_5=0.
- узел C:
I_6-I_3-I_1=0.
Представляем токи в каждой из ветвей через потенциалы узлов, используя закон Ома для участка цепи с э.д.с.:
I_1=(φ_C-φ_A+E_1)/R_1 ;
I_2=(φ_B-φ_A+E_2)/R_2 ;
I_3=(φ_C-φ_B)/R_3 ;
I_4=(φ_A-0)/R_4 ;
I_5=(φ_B-0)/R_5 ;
I_6=〖0-φ〗_C/R_6 .
Заменяем токи в исходных уравнениях по первому закону Кирхгофа их представлением через потенциалы узлов:
(φ_C-φ_A+E_1)/R_1 +(φ_B-φ_A+E_2)/R_2 -(φ_A-0)/R_4 =0;
(φ_C-φ_B)/R_3 -(φ_B-φ_A+E_2)/R_2 -(φ_B-0)/R_5 =0;
〖0-φ〗_C/R_6 -(φ_C-φ_B)/R_3 -(φ_C-φ_A+E_1)/R_1 =0.

Получаем систему уравнений:
{█(〖-φ〗_A∙(1/R_1 +1/R_2 +1/R_4 )+φ_B∙1/R_2 +φ_С∙1/R_1 =-E_1/R_1 -E_2/R_2 ;@-φ_A∙1/R_2 -φ_B∙(1/R_3 +1/R_2 +1/R_5 )+φ_С∙1/R_3 =E_2/R_2 ;@∙1/R_1 +φ_B∙1/R_3 -φ_С∙(1/R_1 +1/R_3 +1/R_6 )=E_1/R_1 .)┤
Подставляем численные значения:
{█(〖-0,175∙φ〗_A+〖0,05∙φ〗_B+〖0,1∙φ〗_С=-20;@-0,05∙φ_A-0,103∙φ_B+〖0,033∙φ〗_С=10;@〖0,1∙φ〗_A+〖0,033∙φ〗_B-〖0,15∙φ〗_С=10.)┤
Вычисляем узловые потенциалы с помощью программы MathCad, получаем:
φ_A=76,565 В;
φ_B=-69,767 В;
φ_C=-31,127 В.


Таким образом, окончательно имеем:
I_1=(φ_C-φ_A+E_1)/R_1 =(-31,127-76,565+100 )/10=-0,769 А;
I_2=(φ_B-φ_A+E_2)/R_2 =(-69,767-76,565+200)/20=2,683 А;
I_3=(φ_C-φ_B)/R_3 =(-31,127-(-69,767))/30=1,288 А;
I_4=(φ_A-0)/R_4 =76,565/40=1,914 А;
I_5=(φ_B-0)/R_5 =(-69,767)/50=-1,395 А;
I_6=(φ_C-0)/R_6 =(-31,127)/60=-0,519 А.

4. Составление баланса мощности

Проверим выполнение баланса мощностей.
Мощность источников ЭДС:
P_E=E_1∙I_1+E_2∙I_2=100∙(-0,769)+200∙2,683=459,75 Вт.
Сумма мощностей приемников
〖P_пр=I_1^2∙R_1+I_2^2∙R_2+I_3^2∙R_3+I〗_4^2∙R_4+I_5^2∙R_5+I_6^2∙R_6=
=(〖-0,769)〗^2∙10+〖2,683〗^2∙20+〖1,288 〗^2∙30+〖1,914〗^2∙40+〖(-1,395)〗^2∙50+〖0,519〗^2∙60=
=459,75 Вт.
Баланс мощностей выполняется.







5. Определение токов в заданных ветвях цепи методом наложения

Составим частную схему с первым источником ЭДС и рассчитаем частный ток, заданной ветви, в ней, убрав все источники, кроме первого.